L’analyse complexe est sans doute l’une des plus belles branches des mathématiques. Le monde des fonctions holomorphes est à la fois rigide et merveilleux. Pour y entrer, il faut évidemment fournir un grand effort, mais je vous assure que le jeu en vaut la chandelle (c’est vrai partout en mathématiques, mais particulièrement cette fois-ci). En guise de motivation, voici le texte de présentation du cours de L3 que j'ai suivi il y a quelques années avec le professeur François Lalonde.

Nous suivons les notes de Francis Nier, section L3-Fonctions holomorphes. En complément, vous pourrez consulter avec profit les notes de cours de Michèle Audin.

Vous pouvez échanger et poser vos questions sur le salon discord prévu à cet effet. Ce salon sera notre moyen de communication principal et je vous invite à l'utiliser! Vous pouvez y écrire vos symboles mathématiques à l'aide du langage LaTeX, en mettant vos formules entre des signes $. Nous allons délaisser le forum de l'ENT pour des raisons techniques.

N'hésitez pas à m'écrire au besoin.

COURS

Notes de cours (2020): NC1, NC2, NC3, NC4.

Chapitre 1

• Le premier épisode du film Dimensions de Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez vous permet de visualiser la projection stéréographique (la suite du film est passionnante et très belle, je vous invite à la visionner!).

• La chaîne Henri Paul de Saint-Gervais propose quelques vidéos qui vous permettent de visualiser des homotopies entre chemins. Il y a également plusieurs vidéos d'initiation au domaine fascinant de la topologie algébrique (plus de détails ici...).

TD

Énoncés (2020): TD1, TD2, TD3, TD4, TD5, TD6, TD7, TD8, TD9.

Corrigés (2020): TD1, TD2, TD3.

Notes (2021): 26 mars (TD2), 7 avril (TD2), 9 avril (TD3), 14 avril (TD3-4), 12 mai (TD4), 17 mai (TD4).

Remarques.

• Le site de WolframAlpha peut vous servir à vérifier vos calculs de limites et à tracer vos fonctions.

• Au sujet de l'exercice 4) a): il faut bien montrer que P(gamma(t)) est homotope à P(0) dans C privé de {0}.

• Voici un magnifique site internet permettant d'acquérir une intuition visuelle de la démonstration topologique du théorème de d'Alembert-Gauss (exercices 3 et 4). Cela peut vous aider à « voir » ce qui se passe.

• Indication pour l’exercice 5 l) iv): considérez Log(iz) et Log(z/i).

• Il est assez long mais les questions avec une astérisque sont facultatives. Elles portent sur l'intégralité du programme d'analyse 6. Lors de l'oral, vous serez interrogés sur l'ensemble du cours et sur ce DM2.

• 2 typos sont restées dans la deuxième version:
• Question II-f) supprimer le k! dans l'expression de la dérivée k-ième de J_n en 0. 
• Question subsidiaire II-i)* L'exposant de t dans le dénominateur de l'équivalent de Y_n est n et non 2n.

• Consigne sur le devoir: Ne pas essayer de tout faire mais plutôt de bien faire et bien maîtriser ce que vous écrivez. Dans les 3 parties les quelques premières questions sont très liées au cours ou très peu techniques.

• L'oral aura pour premier but de bien vérifier que c'est vous qui avez travaillé sur ce que vous avez écrit. Vous serez donc en premier lieu interrogé(e) sur ce que vous avez présenté à l'écrit. Éventuellement des questions vous seront posées sur des parties qui ne sont pas traitées; ou des questions de cours;  ou un petit exercice de calcul simple par exemple à l'aide de la formule de Cauchy ou du théorème des résidus ou un calcul d'indice vous sera posée. Cette évaluation a pour but de s'assurer que vous avez acquis des compétences de base en équations différentielles et fonctions holomorphes. Si au regard de votre copie et de votre oral nous en acquérons la certitude vous aurez votre UE. En revanche nous aurons  un jugement plus sévère si il y a un décalage flagrant entre votre copie et votre oral.